Laboratorio 4 - Cálculo de la expresión algebraica de salida
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Electrónica
Laboratorio Fundamentos de Circuitos Digitales
Cálculo de la expresión algebraica de salida
Gerson Tovar
Código: 20162005461
Entender el funcionamiento de una máquina computacional requiere hacer uso de los postulados del álgebra como Axiomas, Teoremas y demás elementos. La lógica binaria es equivalente a un tipo de álgebra que lleva el nombre de Álgebra de Boole. Esta misma nos permite simplificar circuitos lógicos, y representar el funcionamiento de estos, en base a las Leyes del álgebra de Boole.
Cuando se formulan expresiones matemáticas en los circuitos lógicos, se debe hacer uso de estas leyes fundamentales.
| OR | ||
| A+0 = A | ||
| A+1 = 1 | ||
| A+A = A | ||
| A+A' = A | ||
| AND | ||
| A×0 = 0 | ||
| A×1 = A | ||
| A×A = A | ||
| A×A' = 0 | ||
| NOT | ||
| (A')' = A | ||
Además de éso, existen un Teorema, que puede ser aplicado cuando tenemos dos o más variables. Este es el Teorema de DeMorgan.
A'×B'×C'×D' = A'+B'+C'+D'
A'+B'+C'+D' = A'×B'×C'×D'
Materiales.
-Elementos dentro de la plataforma: Inputs, Outputs.
-Gate OR 7432.
-Gate NOT 7404.
-Gate AND 7408.
Metodología.
Se realiza el montaje del circuito ejemplo, en Circuitverse.
Procedemos a encontrar la ecuación del circuito:
Para ésto, cambiaremos los nombres de las entradas por A,B,C,D. Donde A=A3, B=A2, C=A1, D=A0. Y haremos el cáculo parte por parte.
((A+C)(B'*D'))'
((A+C)(B'*D'))' + ((A+B)*C)' (1)
(A'*B*C'*D')' (2)
(A'*B*C'*D')' + ((B'*D')' * (B'*C)' * (C*D')' * (B*C'*D)')' (3)
(((A+C)(B'*D'))' + ((A+B)*C)'))' * ((A'*B*C'*D')' + ((B'*D')' * (B'*C)' * (C*D')' * (B*C'*D)')')' (4)
La ecuación (4) corresponde a la ecuación general del circuito.
Ahora, llenaremos su tabla de verdad.
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| Tabla de verdad para el circuito. |
Luego, se usa álgebra de Boole para reducir al máximo la ecuación, y así simplificar el número de compuertas.
Ahora simplificamos las expresiones.
Así, para la ecuaciones (1)-(3) tenemos:
((A+C)(B'*D'))' + ((A+B)*C)' = A'+C'+D+B (1)
(A'*B*C'*D')' = A+B'+C+D (2)
(A'*B*C'*D')' + ((B'*D')' * (B'*C)' * (C*D')' * (B*C'*D)')' = A+B'+C+D (3)
y si multiplicamos (1) y (3) aplicando la ecuación (4) tendremos como ecuación general del circuito:
(A'*B*C'*D') + (A*B'*C*D')
(A3'*A2*A1'*A0') + (A3*A2'*A1*A0') (5)
La ecuación (5) corresponde a la ecuación general reducida del circuito. Es la que usaremos para realizar el diseño del circuito simplificado.
En la ecuación, se observa que hay 5 negaciones, lo que equivale a 5 compuertas NOT, hay 6 productos, que equivalen a 6 compuertas AND, y hay 1 suma, que es equivalente a 1 compuerta OR.
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| Circuito reducido con álgebra de Boole. |
Para verificar el funcionamiento, se aplica la misma tabla de verdad para el circuito original.
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| Tabla de verdad para el circuito reducido. |
Análisis de resultados.
-Ambos circuitos responden de manera similar a la misma tabla de verdad, lo que comprueba que el análisis hecho, fue el correcto.
Conclusiones.
-El álgebra de Boole tiene la capacidad de reducir un circuito a su mínima expresión, y así nos permite ahorrar recursos de procesamiento.
-Los axiomas y teoremas que se aplican a la reducción de un circuito, deben ser aplicados de manera correcta, o se puede incurrir en errores que complican los siguientes pasos de reducción.
Referencias bibliográficas.
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| Click aquí para ver los circuitos. |
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